由線代觀點解一道高中矩陣模考題

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Posted by admin | Posted in 高中數學 | Posted on 05-03-2018

本文原是想投稿線代啟示錄,然而周老師已經離開交大,也許久未更新blog,難過惋惜之餘,決定自己來寫。

 

 

在去年的北模試題中,出現一題對高中生來說比較兇猛的矩陣問題。其實有些所謂的高中數學難題,是由大學數學「取材」來並修改成不超綱的樣子,但本質上仍不算一般高中生應學會的。以下便呈現此題,並分享在及學過大學線代的前提下可以如何輕鬆解題。

 

 

題目: 已知二階方陣 A=\begin{bmatrix} a & b\\c & d\end{bmatrix} ,其中 a, b, c, d 均為實數,

X_0=\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix} , X_1=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix} , X_2=\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix} , X_3=\begin{bmatrix}x_3\\y_3\end{bmatrix} ,請選出正確選項:

(1) 若 ad-bc=0 ,且 abcd\neq0X_0 為坐標平面上之一點,則 AX_0 必落在斜率為 \dfrac{c}{a} 且通過原點的直線上。

(2) 若 ad-bc=0 ,且 abcd\neq0 ,則滿足方程式 A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} 的所有 \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} 必落在斜率為 -\dfrac{a}{c} 且通過原點的直線上。

(3) 若 A=\begin{bmatrix}\frac15&\frac35\\\frac25&\frac65\end{bmatrix}X_0 為坐標平面上之一點,則 AX_0X_0 在直線 y=2x 上之投影。

(4) 若 ad-bc\neq0 ,且 X_1 , X_2 , X_3 為坐標平面上不共線三點,則 AX_1 , AX_2 , AX_3 三點亦不共線。

(5) 若坐標平面上任一點 \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} 皆可依序先由二階方陣 A 變換,再經方陣 \begin{bmatrix}4&-3\\3&4\end{bmatrix} 變換至 \begin{bmatrix}-x\\-y\end{bmatrix} ,則矩陣 A 為鏡射矩陣。

 

 

 

解:

(1)  ○  \det(A)=0 則必然第二列是第一列的 k 倍,即 c=ka , d=kb 。那麼 AX_0=\begin{bmatrix}a&b\\ka&kb\end{bmatrix}X_0 乘完結果必然第二列是第一列的 k 倍,即 y 坐標必為 x 坐標的 k=\dfrac{c}{a} 倍。

(2)  ×  等同於求解聯立方程式 \begin{cases}ax+by=0\\kax+kby=0\end{cases} ,故應為 -\dfrac{a}{b}

(3)  ×  投影矩陣 P 必滿足 P^2=P ,顯然不合。

(4)  ○  \triangle X_1X_2X_3 在經方陣 A 變換後,其面積必變為原來的 \det(A) 倍,故選項正確。

(5)  ×  設 B=\begin{bmatrix}4&-3\\3&4\end{bmatrix}=5T_1 ,其中 T_1 為轉 \theta 角的旋轉矩陣, \cos(\theta)=\dfrac45 。由題意 AB=-I ,則 A=\dfrac15T_2 ,其中 T_2 為轉 180^{\circ}-\theta 角的旋轉矩陣,顯然不是鏡射矩陣。

 

 

選項(3)亦可由另一個角度來看:如果 AX_0X_0L:y=2x 上的投影,那麼 AX_0-X_0 便是 L 的法向量,換句話說其與 L 的方向向量垂直,便可列式

\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}(AX_0-X_0)=0\\\Rightarrow\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}\big(A-I\big)X_0=0\\\Rightarrow\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac45&\frac35\\\frac25&\frac15\end{bmatrix}X_0=0\\\Rightarrow\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}X_0=0

顯然這並不是對任意 X_0 皆成立的。

 

 

 

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