不使用柯西均值定理證明羅必達法則

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Posted by admin | Posted in 03 微分的應用 | Posted on 20-06-2018

一般在大一微積分教科書中,往往是用柯西均值定理來證明羅必達法則。

除此之外,還有別的證明方式嗎?

仔細想想,羅必達1是十七世紀的數學家,柯西則是十九世紀數學家,想必一開始肯定不是用柯西均值定理證明的。

本文便分享一個不使用柯西均值定理的證明方法2

 

 

首先注意,我們只須證明左極限,於是右極限便同理。

假定 \lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\lim\limits_{x\to a^-}g(x)=0
由於 \lim\limits_{x\to a^-}g'(x)\neq0 (由羅必達法則的敘述),
所以 g'(x)x=a 的某個近旁
(開區間 (a-k_1, a) ,其中 k_1 是足夠小的正數)
恆正或恆負,不失一般性,可假設 g'(x)x=a 的近旁恆正。

 

現在欲證

\Large \lim_{x\to a^-}\frac{f(x)}{g(x)}= L\qquad\qquad\qquad

 

證明的思路:對於任意小的正數 \epsilon ,都能找到足夠靠近 ax 使下式成立

L-\epsilon\leq\frac{f(x)}{g(x)}\leq L+\epsilon\qquad


這樣,因為 \epsilon 可以任意小,便足以說明極限值為 L

 

首先因為

\Large\lim_{x\to a^-}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\qquad\qquad\qquad


我們可以說:給定任意正數 \epsilon
我們都能找到 x=a 的某個近旁
(開區間 (a-k_2, a) ,其中 k_2 是足夠小的正數)使得

L-\epsilon\leq\frac{f'(x)}{g'(x)}\leq L+\epsilon\qquad\qquad\qquad\;\;(1)


在這近旁成立。現在取 k=\min\big\{k_1,k_2\big\}
於是考慮 x=a 的某個近旁(開區間 (a-k, a) ),
式子(1)皆成立(因為 k\leq k_2 )且 g'(x) data-recalc-dims=0" /> (因為 k\leq k_1 ),
於是將式子(1)同乘以 g'(x) 得到

\big(L-\epsilon\big)g'(x)\leq f'(x)\leq\big(L+\epsilon\big)g'(x)\qquad\qquad(2)\;\qquad\quad


現在將式子(2)整個一起積分,得到

-\big(L-\epsilon\big)g(x)\leq -f(x)\leq-\big(L+\epsilon\big)g(x)\qquad\qquad(3)\;\,\qquad\qquad

為何會多個負號?這是因為我們現在考慮的是左極限, x 位於 a 的左邊,
所以剛剛積分的範圍是 (x,a) ,這樣就會多負號了。
例:

\Large\,\hspace{-50mm}F(x)=\int_a^x f(t) \mathop{}\mathrm{d} t\quad\Rightarrow F'(x)=f(t)\\\Large\,\hspace{-50mm}\;G(x)=\int_x^a g(t) \mathop{}\mathrm{d} t\quad\Rightarrow G'(x)=-g(t)

現在注意,由於 g(x)(x,a) 是遞增到 0 的,
這說明 g(x)(x,a) 是負的,所以
將式子(3)同除以 -g(x) 得到

\Large L-\epsilon\leq \frac{f(x)}{g(x)}\leq L+\epsilon\qquad\qquad\qquad\qquad\,\qquad\qquad(4)


由於 \epsilon 可任意小,這就說明

\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)}{g(x)}= L\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad

 

 

  1. 雖然不是羅必達發現的,但是他首先寫在教科書上的。
  2. 但並非羅必達當初所使用的方法。

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