提供比一般教科書更好懂的闡釋

書籍已出版:白話微積分

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Posted by admin | Posted in 其它事項 | Posted on 14-07-2018

本站所分享之大一微積分內容,已經由五南出版社出版,

書名定爲白話微積分。

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107 指考數甲中微積分相關題目解析

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Posted by admin | Posted in 高中數學 | Posted on 03-07-2018

 

本文就今年指考出現的一道積分相關問題與一道極限相關問題作解析。

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不使用柯西均值定理證明羅必達法則

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Posted by admin | Posted in 03 微分的應用 | Posted on 20-06-2018

一般在大一微積分教科書中,往往是用柯西均值定理來證明羅必達法則。

除此之外,還有別的證明方式嗎?

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廣義坐標系

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Posted by admin | Posted in 高中數學 | Posted on 16-05-2018

高中數學課綱內並不含廣義坐標系的介紹,但因為是強大的解題工具,所以許多老師喜歡在教學中引入,

然而卻又因此引起許多同學的疑惑、誤用。本文試圖提供對於廣義坐標系的清楚介紹。

 

 

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不超綱解一道97指考積分問題

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Posted by admin | Posted in 高中數學 | Posted on 30-03-2018

在97年指考數甲有一道多選題:

考慮坐標平面上函數 y=x^3+2x+3 的圖形( x 為任意實數),試問下列哪些選項是正確的?

(1) 到 (4) 略

(5) 圖形與三直線 x=0 , x=0y=0 所圍區域面積大於 4

 

乍看之下,此選項平平無奇。然而考慮到當年的數學是88課綱,此課綱是沒有介紹微積分基本定理的,所以要求出積分值,以課綱內的做法就是使用上下和。然而在大考中的一個選項使用上下和慢慢做?說笑?

 

下筆前經常要先看清楚題目問什麼。比方說題問某值是否大於零,若能具體算出來當然也能判斷,但許多時候我們只須簡單判斷出它是否正的,不必辛苦算出來。

以此題來說,由於 f'(0)=2 ,故以 (0,3) 為切點的切線方程式為 y=2x+3 。代 x=1 到切線方程式,得到 y=5 。於是四條直線 L,x=0,x=1,y=0 所圍梯形區域面積為 \frac{(3+5)\times1}{2}=4 。回到原來曲線,由於 f''(x)=6xx data-recalc-dims=0" /> 時為正,

這說明曲線 y=f(x) 凹向上,切線恆在曲線下方。這樣便知道,原所求區域面積大於梯形面積,也就是大於 4

 

 

寫給高中生的微積分簡介 第二版

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Posted by admin | Posted in 高中數學 | Posted on 17-03-2018

 

為了也幫助到需要面對微積分的高中同學,特地整理了此文。

請注意,本文並不打算完整涵蓋高中微積分,這只是一個輔助性的讀物。

 

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由線代觀點解一道高中矩陣模考題

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Posted by admin | Posted in 高中數學 | Posted on 05-03-2018

本文原是想投稿線代啟示錄,然而周老師已經離開交大,也許久未更新blog,難過惋惜之餘,決定自己來寫。

 

 

在去年的北模試題中,出現一題對高中生來說比較兇猛的矩陣問題。其實有些所謂的高中數學難題,是由大學數學「取材」來並修改成不超綱的樣子,但本質上仍不算一般高中生應學會的。以下便呈現此題,並分享在及學過大學線代的前提下可以如何輕鬆解題。

 

 

題目: 已知二階方陣 A=\begin{bmatrix} a & b\\c & d\end{bmatrix} ,其中 a, b, c, d 均為實數,

X_0=\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix} , X_1=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix} , X_2=\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix} , X_3=\begin{bmatrix}x_3\\y_3\end{bmatrix} ,請選出正確選項:

(1) 若 ad-bc=0 ,且 abcd\neq0X_0 為坐標平面上之一點,則 AX_0 必落在斜率為 \dfrac{c}{a} 且通過原點的直線上。

(2) 若 ad-bc=0 ,且 abcd\neq0 ,則滿足方程式 A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} 的所有 \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} 必落在斜率為 -\dfrac{a}{c} 且通過原點的直線上。

(3) 若 A=\begin{bmatrix}\frac15&\frac35\\\frac25&\frac65\end{bmatrix}X_0 為坐標平面上之一點,則 AX_0X_0 在直線 y=2x 上之投影。

(4) 若 ad-bc\neq0 ,且 X_1 , X_2 , X_3 為坐標平面上不共線三點,則 AX_1 , AX_2 , AX_3 三點亦不共線。

(5) 若坐標平面上任一點 \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} 皆可依序先由二階方陣 A 變換,再經方陣 \begin{bmatrix}4&-3\\3&4\end{bmatrix} 變換至 \begin{bmatrix}-x\\-y\end{bmatrix} ,則矩陣 A 為鏡射矩陣。

 

 

 

解:

(1)  ○  \det(A)=0 則必然第二列是第一列的 k 倍,即 c=ka , d=kb 。那麼 AX_0=\begin{bmatrix}a&b\\ka&kb\end{bmatrix}X_0 乘完結果必然第二列是第一列的 k 倍,即 y 坐標必為 x 坐標的 k=\dfrac{c}{a} 倍。

(2)  ×  等同於求解聯立方程式 \begin{cases}ax+by=0\\kax+kby=0\end{cases} ,故應為 -\dfrac{a}{b}

(3)  ×  投影矩陣 P 必滿足 P^2=P ,顯然不合。

(4)  ○  \triangle X_1X_2X_3 在經方陣 A 變換後,其面積必變為原來的 \det(A) 倍,故選項正確。

(5)  ×  設 B=\begin{bmatrix}4&-3\\3&4\end{bmatrix}=5T_1 ,其中 T_1 為轉 \theta 角的旋轉矩陣, \cos(\theta)=\dfrac45 。由題意 AB=-I ,則 A=\dfrac15T_2 ,其中 T_2 為轉 180^{\circ}-\theta 角的旋轉矩陣,顯然不是鏡射矩陣。

 

 

選項(3)亦可由另一個角度來看:如果 AX_0X_0L:y=2x 上的投影,那麼 AX_0-X_0 便是 L 的法向量,換句話說其與 L 的方向向量垂直,便可列式

\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}(AX_0-X_0)=0\\\Rightarrow\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}\big(A-I\big)X_0=0\\\Rightarrow\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac45&\frac35\\\frac25&\frac15\end{bmatrix}X_0=0\\\Rightarrow\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}X_0=0

顯然這並不是對任意 X_0 皆成立的。

 

 

 

極坐標中的常見曲線

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Posted by admin | Posted in 10 極座標 | Posted on 19-11-2017

 

本文介紹了極座標及其性質,

還有如何將直角座標方程式及極座標方程式互相轉換。

以及介紹了如何判斷極座標方程式的 θ 的範圍。

這是非常重要的,由於許多同學對此會有困惑,所以較詳細介紹這部分。

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極坐標簡介

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Posted by admin | Posted in 10 極座標 | Posted on 16-11-2017

 

本文介紹了極座標及其性質,

還有如何將直角座標方程式及極座標方程式互相轉換。

以及介紹了如何判斷極座標方程式的 θ 的範圍。

這是非常重要的,由於許多同學對此會有困惑,所以較詳細介紹這部分。

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有理函數的積分:部分分式法

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Posted by admin | Posted in 05 積分技巧 | Posted on 05-11-2017

 

本文介紹對付有理函數積分的策略。

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